Vektor. Přidání vektorů

Studium matematiky vede k neustálému obohacování a zvyšování rozmanitosti prostředků pro modelování objektů a jevů životního prostředí. Rozšíření koncepce čísla nám tedy umožňuje představit kvantitativní charakteristiku objektů prostředí, pomocí nových tříd geometrických tvarů je možné popsat rozmanitost jejich forem. Rozvoj přírodních věd a požadavky samotné matematiky však vyžadují zavedení a studium nových a nových modelovacích nástrojů. Zejména velké množství fyzikálních veličin nelze charakterizovat jen čísly, protože směr jejich působení je také důležitý. A vzhledem k tomu, že orientované segmenty charakterizují směry, číselné hodnoty, pak se na tomto základě objevil nový koncept matematiky - pojem vektoru.

Plnění základních matematických akcí na nich bylo také určeno fyzickými úvahami, což nakonec vedlo k založení vektorové algebry, která nyní hraje obrovskou roli při tvorbě fyzikálních teorií. Zároveň v matematice se tento druh algebry a jejich zobecnění staly velmi vhodným jazykem, jakož i prostředkem získávání a určování nových výsledků.

Co je vektor?

Vektor je množina všech cílených segmentů se stejnou délkou a daným směrem. Každý ze segmentů této sady se nazývá obrázek vektoru.

Je zřejmé, že vektor je označen jeho obrazem. Všechny řízené segmenty, které reprezentují vektor a, mají stejnou délku a směr, které se nazývají délkou (modul, absolutní hodnota) a směrem vektoru. Jeho délka je označena IaI . Dva vektory jsou volány stejné, pokud mají stejný směr a stejnou délku.

Řízený segment, jehož začátek je bod A a koncový bod B, je jednoznačně charakterizován uspořádaným párem bodů (A; B). Také považujeme množinu párů (A; A), (B; B) .... Tato sada označuje vektor, který se nazývá nula a je označen číslem 0 . Obraz nulového vektoru je libovolný bod. Modul nulového vektoru se považuje za nulový. Koncepce směru nulového vektoru není definována.

Pro libovolný nenulový vektor je definován vektor, který je protilehlý danému vektoru, tj. Který má stejnou délku, ale opačný směr. Vektory, které mají stejný nebo opačný směr, se nazývají kolineární.

Možnosti využití vektorů souvisí se zavedením akcí na vektory a vytvořením vektorové algebry, která má mnoho společných vlastností s obvyklou "numerickou" algebrou (ačkoli samozřejmě existují i významné rozdíly).

Přidání dvou vektorů (noncollinear) se provádí podle pravidla trojúhelníku (umístíme začátek vektoru b na konec vektoru a , potom vektor a + b spojuje počátek vektoru a na konec vektoru b ) nebo paralelogram (vektory a a b umístíme ve stejném bodě, pak vektor a + B , se začátkem ve stejném bodě, je úhlopříčka rovnoběžníku, který je konstruován na vektorech a a b ). Přidávání vektorů (několika) lze provést pomocí polygonového pravidla. Jsou-li tyto pojmy kolineární, jsou odpovídající geometrické konstrukce sníženy.

Operace s vektory, které jsou dány souřadnicemi, jsou redukovány na operace s čísly: přidání vektorů - přidání odpovídajících souřadnic, například a = (x1; y1) a b = (x2; y2), pak a + b = (x1 + x2 ; Y1 + y2).

Pravidlo pro přidávání vektorů má všechny algebraické vlastnosti, které jsou vlastní při přidávání čísel:

1. Z permutace termínů se částka nemění:
   A + b = b + a
   Přidání vektorů pomocí této vlastnosti vyplývá z pravidla paralelogramu. Opravdu, jaký je rozdíl, v jakém pořadí sumu vektorů a a b, jestliže je diagonální rovnoběžník stále stejný?
2. Associativity nemovitost:
   (A + b) + c = a + (b + c).
3. Přidání vektoru nula vektoru nic nemění:
   A +0 = a
   To je docela zřejmé, pokud si představíme takový přírůstek z pohledu pravidla trojúhelníku.
4. Každý vektor a má opačný vektor označený - a; Přidání vektorů, pozitivních a negativních, bude nula: a + (- a) = 0.