Jednoduchá metoda iterace pro řešení soustav lineárních rovnic (Slough)

Jednoduchá metoda iterace, nazývané také způsob postupného sbližování, - matematický algoritmus pro zjištění hodnoty neznámé hodnotě přes postupné vyjasnit jej. Podstatou této metody je, že, jak již název napovídá, se postupně vyjadřují počáteční aproximaci těch dalších, jsou stále více rafinované výsledky. Tato metoda se používá pro nalezení hodnoty proměnné v dané funkci, a řešení soustavy rovnic, jak lineární a nelineární.

Podívejme se, jak je tato metoda implementována při řešení soustav lineárních rovnic. pevným bodem iterace algoritmu je následující:

1. Ověřením konvergenčních podmínek v počátečním matrici. Konvergenční věta: v případě, že původní matice soustavy je diagonálně dominantní (tj, každý řádek prvků hlavní diagonále musí být větší co do velikosti, než je součet prvků bočních diagonály v absolutní hodnotě), metodu jednoduchých iterací - konvergentní.

2. Matice z původního systému, není vždy diagonále převahu. V takových případech, systém může být transformována. Rovnice, které vyhovují podmínce konvergence zůstane nedotčen, s neuspokojivé a aby lineární kombinace, tj. násobení, odčítání, rovnice poskládán produkovat požadovaný výsledek.

Pokud je přijatý systém na hlavní diagonále jsou nepříjemné faktory, pak na obou stranách této rovnice se přidá, pokud jde o formu _i * X _i, které by se mělo shodovat se znaky příznaky diagonálních prvků.

3. Převod výsledného systému do normálního zobrazení:

^{x - = β - + α *} x -

To může být provedeno mnoha způsoby, například následujícím způsobem: první rovnice vyjádřit _X1 přes další neznámé z vtorogo- x _2, x ₃ tretego- atd. Proto jsme se podle vzorce:

_{α ij = - (a ij /} A II)

_i = b _I / A _II
Ujistěte se znovu ujistil, že výsledný systém normálního typu odpovídá stavu konvergence:

Σ (j = 1) | α _ij | ≤ 1, a i = 1,2, ... n

4. Začátek použity, ve skutečnosti, metodu postupných aproximací.

x ⁽⁰⁾ - počáteční aproximace, vyjádříme skrz něj x ^(1), a následně x ⁽¹⁾ x Express ^(2). Obecný vzorec na maticovém tvaru takto:

x ^{(N) = β - + α} * x (n- ¹⁾

Počítáme, dokud nedosáhneme požadované přesnosti:

_{max | x i (k) -x} i (k + 1) ≤ ε

Takže, pojďme se podívat na praxi, způsob jednoduchého iteraci. příklad:
Řešit lineární systémy:

4,5x1-1.7x2 + 3.5x3 = 2
3.1x1 + 2.3x2-1.1x3 = 1
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4 s přesností ε = 10 ^-3

Viz zvítězí-li diagonální prvky modulu.

Vidíme, že podmínka konvergence je splněna třetí rovnice. První a druhá transformace, první rovnici přidáme dvě:

7,6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3

Odečíst od třetí:

-2,7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2

Máme transformovala původní systém v ekvivalentu:

7,6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3
-2,7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4

Nyní snížíme systém do normálního zobrazení:

x1 = 0.3947-0.0789x2-0.3158x3
x2 = 0,4762 + 0.6429x1-0.2857x3
X3 = 0.8511-0.383x1-0.5319x2

Ověříme konvergence iterativní proces:

0,0789 + 0,3158 = 0,3947 ≤ 1
0,6429 + 0,2857 = 0,9286 ≤ 1
0.383+ 0,5319 = 0,9149 ≤ 1, tj. podmínka je splněna.

0,3947
Počáteční přiblížení x ⁽⁰⁾ = 0,4762
0,8511

Nahradit těchto hodnot do rovnice běžného typu, získáme následující hodnoty:

0,08835
x ⁽¹⁾ = 0,486793
0.446639

Náhradní nové hodnoty, dostaneme:

0.215243
x ⁽²⁾ = 0,405396
0.558336

Budeme i nadále počítat, dokud až se dostanete blíž k hodnotám, které splňují stanovené podmínky.

0,18813

x ⁽⁷⁾ = 0,441091

0.544319

0.188002

x ⁽⁸⁾ = 0,44164

0.544428

Zkontrolujte správnost výsledků:

4,5 * 0,1880 -1,7 * 0,441 + 3,5 * 0,544 = 2,0003
3,1 * 0,1880 + 2,3 * 0,441-1.1x * 0544 = 0,9987
1,8 * 2,5 * 0,1880 + 0,441 + 4,7 * 0,544 = 3,9977

Výsledky získané nahrazením získaných hodnot do původní rovnice, plně uspokojit rovnici.

Jak můžeme vidět, jednoduchá metoda iterace dává poměrně přesné výsledky, ale řešit tuto rovnici, jsme museli strávit spoustu času a to těžkopádné výpočty.