Pravidelné polyhedra: Prvky symetrie a area

Geometrie je krásný, protože, na rozdíl od algebry, což není vždy jasné, proč a co si myslíte, poskytuje vizuální objekt. Tento nádherný svět různých orgánů zdobí pravidelné polyhedra.

Obecné informace o pravidelných mnohostěnů

Podle mnoha, pravidelných mnohostěnů, nebo jak se nazývají platonické pevné látky, mají jedinečné vlastnosti. S těmito objekty spojeny několik vědeckých hypotéz. Když začnete studovat geometrická data v těle, si uvědomit, že téměř nic o takové koncepce, jako pravidelné polyhedra vědět. Prezentace těchto objektů ve škole není vždy zajímavé, takže mnozí si ani nepamatuju, co se jim říkalo. V paměti většiny lidí je to jen krychle. Žádný z geometrie tělesa nemá takové dokonalosti jako pravidelných mnohostěnů. Všechny názvy těchto geometrických těles pochází ze starověkého Řecka. Ty představují počet obličejů: čtyřstěn - čtyřstranné, šestistěnu - šestihranný octahedron - osmiúhelníku, dvanáctistěn - dodecahedral, icosahedron - icosahedral. Všechny tyto geometrické těleso zaujímá významné místo v Platónově pojetí vesmíru. Čtyři z nich jsou obsaženy prvky či entity: tetraedronové - oheň, icosahedron - Vodní kostka - zemin, octahedron - vzduch. Dodecahedron ztělesňuje všechno. On byl považován za hlavní, jako symbol vesmíru.

Zobecnění pojmu mnohostěnu

Mnohostěn je konečná kolekce mnohoúhelníků taková, že:

• každá ze stran kteréhokoli z polygonů je současně jen jedna strana z jiného polygonu na stejné straně;
• od každého z mnohoúhelníků se můžete projít na druhou tím, že projde v sousedství k němu polygonů.

Polygony tvořící polyhedron představují jeho obličeje a jejich boční - žebra. mnohostěn vrcholy jsou vrcholy polygonů. V případě, že termín polygon rozumět ploché uzavřené lomené čáry, pak se na jednu definici mnohostěnu. V případě, že tímto termínem se míní část rovině, která je ohraničená přerušovanou čarou, je zřejmé, povrch se skládá z polygonálních kusů. Konvexní mnohostěn se nazývá tělo ležící na jedné straně roviny, přiléhající k jeho povrchů.

Další definice mnohostěn a jeho prvků

Polyhedron tzv povrch skládající se z polygonů, který omezuje geometrického tělesa. Jsou to:

• non-konvexní;
• konvexní (správné a co špatné).

Pravidelný mnohostěn - je konvexní mnohostěn s maximálním symetrie. Prvky pravidelných mnohostěnů:

• Tetrahedron: 6 žebra 4 tváře 5 vrcholy;
• šestihrany (krychle) 12, 6, 8;
• dvanáctistěn 30, 12, 20;
• osmistěn 12, 8, 6;
• icosahedron 30, 20, 12.

Eulerova věta

Stanoví vztah mezi počtem hran, vrcholů a tváře jsou topologicky ekvivalentní koule. Přidání počet vrcholů a tváře (B + D) mají rozdílné pravidelné polyhedra a jejich porovnání s počtem žeber, je možné nastavit jedno pravidlo: součet počtu ploch, který se rovná počtu vrcholů a hran (P) o 2. Je možné odvodit jednoduchý vzorec:

• B + D = P + 2.

Tato rovnice platí pro všechny konvexní polyhedra.

základní definice

Koncept pravidelného mnohostěnu je nemožné popsat v jedné větě. To je více ceněn a objem. Tělo být rozpoznán jako takový, to je potřebné, aby splňovaly některé definice. Tak, geometrický tělo bude pravidelný mnohostěn, pokud jsou splněny tyto podmínky:

• je konvexní;
• stejný počet žeber konverguje na každém ze svých vrcholů;
• všechny aspekty jeho - pravidelné mnohoúhelníky, rovnající se navzájem;
• Všechny dihedral úhly jsou si rovny.

Vlastnosti pravidelných mnohostěnů

K dispozici je 5 různých typů pravidelných mnohostěnů:

1. Krychle (šestihrany) - má plochý vrcholový úhel je 90 °. Má 3-stranné úhel. Výše tvář úhly u špice 270 °.
2. Čtyřstěn - plochý vrcholový úhel - 60 °. Má 3-stranné úhel. Výše tvář úhly na vrcholu - 180 °.
3. Osmistěn - plochý vrcholový úhel - 60 °. Má čtyři oboustranný úhel. Výše tvář úhly na vrcholu - 240 °.
4. Dodecahedron - plochý vrcholový úhel 108 °. Má 3-stranné úhel. Výše tvář úhly na vrcholu - 324 ° C.
5. Dvacetistěn - má plochý vrcholový úhel - 60 °. To má z pěti stran úhel. Výše tvář úhly u špice 300 °.

Oblast pravidelného polyhedra

Povrchová plocha geometrických těles (S) se vypočte jako běžný mnohoúhelníkové plochy násobené počtem plošek (G):

• S = (a: 2) x 2G CTG n / s.

Objem pravidelného mnohostěnu

Tato hodnota se vypočítá vynásobením objemu pravidelného jehlanu, jehož základem je pravidelný mnohoúhelník, počet ploch, a její výška je vepsaný poloměr koule (r):

• V = 1: 3RS.

Objemy pravidelných mnohostěnů

Stejně jako jakékoliv jiné geometrické pevných pravidelných mnohostěnů mají různé svazky. Níže jsou formule, které jim umožní vypočítat:

• Tetrahedron: α x 3√2: 12;
• osmistěn: α x 3√2: 3;
• icosahedron; α x 3;
• šestihrany (krychle): alfa x 5 x 3 x (3 + √5): 12;
• dvanáctistěn: α x 3 (15 + 7√5): 4.

Prvky pravidelných mnohostěnů

Šestihrany a octahedron představují dvojí geometrické těla. Jinými slovy, mohou dostat ven ze sebe v případě, že těžiště jednoho je brán jako horní straně druhé, a naopak. Také jsou dual icosahedron a dodecahedron. Sám jen čtyřstěn je duální. Podle způsobu Euclida mohou být získány z dodecahedron šestistěnu vytvořením „střechy“ na tvářích krychle. Vrcholy čtyřstěnu jsou všechny 4 vrcholy krychle, který nesousedí páry podél okraje. Z šestihrany (krychle) lze získat, a další pravidelné polyhedra. Navzdory tomu, že pravidelné mnohoúhelníky existuje bezpočet, pravidelné polyhedra, tam jsou jen 5.

Poloměry pravidelné mnohoúhelníky

S každou z těchto geometrických těles jsou spojeny soustředné koule 3:

• popsáno procházející vrcholy;
• vepsaný o každé ze svých stran v jejím středu;
• Medián o všechny hrany ve středu.

Poloměr koule je popsán následujícím vzorcem se vypočítá takto:

• R = a: 2 x tg π / g x tg θ: 2.

Poloměr vepsané koule se vypočítá následujícím způsobem:

• R = A: 2 x CTG π / p x tg θ: 2,

kde θ - úhel vzepětí, který je mezi sousedními plošek.

Střední poloměr koule se může vypočítat podle následujícího vzorce:

• ρ = cos n / p: 2 sin π / h,

kde h = velikost 4,6, 6,10, nebo 10. Poměr poloměrů, že vepsaný, popsané a symetricky vzhledem k p a q. To se vypočte takto:

• R / r = tg π / p x tg π / q.

Symetrie mnohostěnů

Symetrie pravidelných mnohostěnů je primárního zájmu těchto geometrických těles. Je chápán jako pohyb těla v prostoru, který ponechává stejný počet vrcholů, tváře a hran. Jinými slovy, pod vlivem symetrie přeměnách okraj, vrchol, nebo tvář zachovává svůj původní polohy, nebo se přesune do základní polohy další žebra, ostatní vrcholy nebo ploch.

Prvky souměrnosti pravidelných mnohostěnů jsou společné pro všechny typy geometrických těles. Zde je vedena na transformaci identity, což nechává některý z bodů do původní polohy. Takže, když zapnete polygonální hranol může získat nějaké symetrie. Kterýkoliv z nich může být reprezentován jako součin odrazu. Symetrie, která je produktem sudým počtem odrazů, zvané přímé. Pokud se jedná o výrobek z lichého počtu odrazů, pak se nazývá zpětná vazba. Tak, všechny obraty kolem linie přímou symetrii. Jakákoli úvaha mnohostěn - je inverzní symetrie.

Aby bylo možné lépe porozumět symetrie prvky pravidelných mnohostěnů, můžete si vzít příklad z čtyřstěnu. Každá linka, která bude procházet jedním z vrcholů a středem geometrického tvaru, se bude konat, a středem hrany naproti ní. Každý ze závitů 120 a 240 ° kolem řádku patří do množném čtyřboká symetrie. Vzhledem k tomu, 4 vrcholy a tváře, dostaneme celkem osm přímých symetrií. Každý z řádků procházejících středem okrajů a středu těla, prochází středem protilehlé hrany. Každá rotace o 180 °, s názvem o půl otáčky kolem přímé symetrie. Vzhledem k tomu, čtyřstěn má tři páry žeber, dostanete tři řádky symetrie. Na základě výše uvedeného lze konstatovat, že celkový počet přímých symetrie a včetně transformace identity, bude až dvanáct. Ostatní přímý symetrie čtyřstěn neexistuje, ale má 12 inverzní symetrii. V důsledku toho, pouze 24, vyznačující se čtyřstěn symetrie. Pro názornost můžeme postavit model pravidelného čtyřstěnu z kartonu a zkontrolujte, zda se jedná o geometrické těleso má ve skutečnosti jen 24 symetrie.

Dodecahedron a icosahedron - nejblíže k povrchu těla. Icosahedron má největší počet ploch, na úhel vzepětí a ze všeho nejvíc je pevně lpí na vepsané koule. Dodecahedron má nejnižší úhlový defekt největší pevný úhel na vrcholu. To může maximalizovat vyplnit opsané koule.

skenování polyhedra

Pravidelné kontroly polyhedra, kterou všichni slepené v dětství, mají spoustu konceptů. Je-li sada polygonů, každá strana, která byla identifikována pouze s jednou stranou mnohostěnu, identifikace stran musí splňovat dvě podmínky:

• každého polygonu, můžete přejít na polygonu, který má identifikaci straně;
• identifikovatelné strana by měla mít stejnou délku.

Jedná se o sadu mnohoúhelníky, které splňují tyto podmínky, a je nazýván mnohostěn skenování. Každý z těchto subjektů má několik z nich. Například, krychle, z nichž je 11 kusů.