Kontinuální funkce

Funkce spojitá je funkce bez "skoků", tj. Pro kterou je podmínka splněna: malé změny v argumentu jsou následovány malými změnami v odpovídajících hodnotách funkce. Graf této funkce je hladká nebo kontinuální křivka.

Kontinuita v bodě, který je pro určitou množinu limitu, lze určit pomocí konceptu limitu, a to: funkce musí mít v tomto bodě limit, který se rovná jeho hodnotě v mezním bodě.

Pokud jsou tyto podmínky v určitém okamžiku narušeny, říká se, že funkce na daném místě trpí diskontinuitou, tj. Je narušena její kontinuita. V limitu jazyka může být bod diskontinuity popsán jako nesoulad hodnoty funkce v diskontinuálním bodě s limitem funkce (pokud existuje).

Bod přerušení může být odstraněn, proto je nutné mít limit funkce, ale neshoduje se s jeho hodnotou v daném bodě. V tomto případě může být v tomto okamžiku "opraveno", tj. Může být rozšířeno na kontinuitu.
Je-li hranice funkce v daném bodě neexistující, vzniká zcela jiný obrázek. Existují dva možné varianty zlomových bodů:

• Z prvního typu - oba jednostranné limity existují a jsou konečné a hodnota jedné z nich nebo obou se neshoduje s hodnotou funkce v daném okamžiku;
• Druhého druhu, kdy jeden nebo oba jednostranné limity neexistují nebo jejich hodnoty jsou nekonečné.

Vlastnosti spojitých funkcí

• Funkce získaná v důsledku aritmetických operací, stejně jako superpozice spojitých funkcí v jejich doméně definice, je také kontinuální.
• Pokud je dána nepřetržitá funkce, která je v určitém okamžiku pozitivní, pak vždy nalezneme dostatečně malé sousedství, na které si zachovává své znamení.
• Podobně, jestliže jsou její hodnoty ve dvou bodech A a B stejné jako a, b a jiné než b, pak pro mezilehlé body budou mít všechny hodnoty z intervalu (a; b). Odtud můžeme nakreslit zajímavý závěr: pokud udělíme roztaženou pryžovou pásku, aby se zmenšila, aby nezůstala (zůstala rovná), zůstane jeden z jejích bodů pevný. A geometricky to znamená, že existuje přímka procházející jakýmkoli mezilehlým bodem mezi A a B, který překračuje graf funkce.

Poznamenáváme některé z kontinuálních (v oblasti jejich definice) elementárních funkcí:

• Konstantní;
• Rational;
• Trigonometrická.

Mezi dvěma základními pojmy matematiky - kontinuitou a diferenciabilitou - existuje neoddělitelná vazba. Stačí jen připomenout, že pro diferenciabilitu funkce je nutné, aby to byla spojitá funkce.

Pokud je však funkce v určitém bodě diferencovaná, pak je spojitá. Není však nutné, aby byl jeho derivát spojitý.

Funkce, která má kontinuální derivát na určité sadě, patří do samostatné třídy hladkých funkcí. Jinými slovy, je to průběžně diferencovatelná funkce. Má-li derivát omezený počet bodů zlomu (pouze prvního druhu), pak se podobná funkce říká, že je po částech hladká.

Další důležitou koncepcí matematické analýzy je jednotná kontinuita funkce, tj. Její schopnost být stejně nepřetržitá v libovolném bodě ve své doméně definice. Proto je tato vlastnost považována za množinu bodů a nikoli za samostatnou.

Pokud to opravíme, nemáme nic jiného než definici kontinuity, to jest existence jednotné kontinuity znamená, že máme souvislou funkci. Obecně řečeno, konverzace není pravdivá. Nicméně, podle Cantorovy věty, je-li funkce spojitá na kompaktu, tedy v uzavřeném intervalu, je na ní rovnoměrně spojitá.