Teorie pravděpodobnosti. Pravděpodobnost události, příležitostné akce (teorie pravděpodobnosti). Nezávislé a neslučitelné vývoj teorie pravděpodobnosti

Je nepravděpodobné, že mnoho lidí si myslí, že je možné počítat události, které do jisté míry náhodné. Řečeno zjednodušeně řečeno, je to realistické vědět, na které straně krychle v kostkách padne příště. Bylo to něco zeptat Dva velcí vědci, položil základ pro tuto vědu, teorii pravděpodobnosti, pravděpodobnost události, ve kterém studoval dost značně.

generace

Pokud se pokusíte definovat takové pojetí jako teorie pravděpodobnosti, dostaneme následující: toto je jedna z větví matematiky, která studuje stálost náhodných událostí. Je zřejmé, že tento koncept skutečně neodhalí podstatu, takže je třeba jej zvážit podrobněji.

Chtěl bych začít s zakladatelů teorie. Jak již bylo zmíněno, byly tam dva, že Per Ferma a Blez Paskal. Oni byli první pokus o použití vzorců a matematických výpočtů pro výpočet výsledek události. Obecně platí, že základy této vědy je ještě ve středověku. Zatímco různé myslitelé a vědci pokusili analyzovat kasinové hry, jako je ruleta, kostky, a tak dále, čímž se vytvoří obrazec, a procentuální podíl ztráty z řady. Nadace byla rovněž přijata v sedmnáctém století to bylo výše zmíněné učenci.

Zpočátku jejich práce nelze připsat na velké úspěchy v této oblasti, po tom všem, co udělali, byli prostě empirických faktů a experimenty byly jasně bez použití vzorců. Postupem času se ukázalo pro dosažení vynikajících výsledků, které se objevily v důsledku pozorování obsazení kostí. Je tento nástroj pomohl přinést první zřetelný vzorec.

podporovatelé

Nemluvě o tom, takový člověk jako Christiaan Huygens, v procesu studovat předmět, který nese název „teorie pravděpodobnosti“ (pravděpodobnost jevu, to upozorňuje v této vědy). Tato osoba je velmi zajímavá. On, stejně jako vědci Výše uvedené se pokusil ve formě matematických vzorců odvodit vzor náhodných událostí. Je pozoruhodné, že neměl sdílet s Pascal a Fermat, že je všechno jeho práce se nepřekrývá s těmito myslí. Huygens odvozen základní pojmy teorie pravděpodobnosti.

Zajímavým faktem je, že jeho práce přišla dlouho předtím, než výsledky prací průkopníků, abychom byli přesní, před dvaceti lety. Existuje jen mezi pojmy identifikovány byly:

• jako koncept hodnot pravděpodobnost náhody;
• očekávání pro jednotlivém případě;
• věty sčítání a násobení pravděpodobností.

Také nelze zapomenout na Yakoba Bernulli, který také přispěl ke studiu problému. Přes jejich vlastní, z nichž ani jeden jsou nezávislé testy, byl schopen prokázat zákona velkých čísel. Na druhé straně, vědci Poisson a Laplace, který pracoval na počátku devatenáctého století, byli schopni prokázat původní větu. Od té chvíle analyzovat chyby v pozorování jsme začali používat teorii pravděpodobnosti. Party kolem této vědy nemohl a ruští vědci, spíše Markov, Chebyshev a Dyapunov. Jsou založeny na pracovních udělal velké géniové, zajištěné předmět jako odvětví matematiky. Pracovali jsme tyto údaje na konci devatenáctého století, a to díky jejich přínosu, bylo prokázáno jevy, jako jsou:

• zákon velkých čísel;
• Teorie Markovových řetězců;
• Centrální limitní věta.

Takže historie narození vědy a s významnými osobnostmi, které přispěly k tomu, všechno je víceméně jasné. Nyní je čas, aby zhmotnit všechna fakta.

základní pojmy

Než se dotknete zákony a teorémy by se měli naučit základní pojmy z teorie pravděpodobnosti. Event zaujímá dominantní roli. Toto téma je poměrně rozsáhlá, ale nebudou schopni pochopit celý zbytek bez něj.

Událost v teorii pravděpodobnosti - to Jakákoli sada výsledků experimentu. Koncepty tohoto jevu není dostatek. Tak Lotman vědec pracující v této oblasti, se vyjádřil, že v tomto případě mluvíme o tom, co „se stalo, ačkoli to nemohlo stát.“

Náhodné události (teorie pravděpodobnosti věnuje zvláštní pozornost k nim) - je pojem, který zahrnuje absolutně žádný fenomén, který má možnost dojít. Nebo naopak, tento scénář nemůže dojít při plnění různých podmínek. Je také dobré vědět, že zabírají celý objem jevů jen náhodné jevy. Teorie pravděpodobnosti naznačuje, že všechny podmínky mohou být neustále opakuje. Je to jejich chování bylo nazváno „zkušenost“ nebo „test“.

Významnou událostí - jedná se o jev, který je stoprocentně v tomto testu se stalo. V důsledku toho je nemožné akce - to je něco, co se nestane.

Kombinace dvojic akce (obvykle je věc a případ B) je jev, který se vyskytuje současně. Jsou označovány jako AB.

Množství páry událostí A a B - C je, jinými slovy, je-li alespoň jeden z nich (A nebo B), dostanete C. vzorec popsaný jev je napsán jako C = A + B.

Nekompatibilní vývoj teorie pravděpodobnosti vyplývá, že tyto dvě věci se vzájemně vylučují. Zároveň jsou v žádném případě nemůže dojít. Společné akce v teorii pravděpodobnosti - to je jejich protipólem. Z toho vyplývá, že jestliže A stalo, že nevylučuje C.

Oponovat událost (teorie pravděpodobnosti je považuje za velmi podrobně), jsou snadno pochopitelné. To je nejlepší, aby se s nimi vypořádat v porovnání. Jsou téměř stejné jako nekompatibilní vývoj v teorii pravděpodobnosti. Nicméně, jejich rozdíl je, že by mělo dojít k některým z většího počtu jevů v každém případě.

Stejně pravděpodobné události - tyto akce, možnost opakování se rovná. Aby bylo jasné, že můžete představit házet mince: ztráta jedné z jeho stran je stejně pravděpodobná ztráta druhého.

je to jednodušší, aby zvážila příklad zvýhodňuje událost. Předpokládejme, že je epizoda v epizodě A. První z nich - svitek razidla s příchodem lichým číslem, a druhou - vzhled čísla pět na kostky. Pak se ukáže, že A je oblíbenou V.

Nezávislé jevy v teorii pravděpodobnosti se promítají pouze na dvou nebo více příležitostech a zapojit nezávislé na jakékoliv akce od druhého. Například, A - u ztrát ocasy mince házet, a B - dostavanie konektoru z paluby. Mají nezávislé události v teorii pravděpodobnosti. Od tohoto okamžiku bylo jasné.

Závislé události v teorii pravděpodobnosti je přípustné pouze pro jejich set. Vyplývá z nich závislost jednoho na druhé straně, to znamená, že tento jev může nastat pouze v případě, kdy již došlo, nebo naopak, se nestalo, když je - hlavní podmínku pro B.

Výsledek náhodného experimentu skládající se z jedné složky - to je elementární události. Teorie pravděpodobnosti říká, že se jedná o jev, který se provádí pouze jednou.

základní vzorec

To znamená, že výše byly považovány za pojem „akce“, „pravděpodobnosti“, byl také uveden definice základních pojmů této vědy. Nyní je čas seznámit se s významnými vzorců. Tyto projevy jsou matematicky potvrdila, všechny hlavní koncepty v takovém složitém tématu jako teorie pravděpodobnosti. Pravděpodobnost události a hraje obrovskou roli.

Lepší začít se základními vzorcích kombinatoriky. A předtím, než je začnete, stojí za to zvážit, co to je.

Kombinatorika - je v první řadě odvětví matematiky, studuje obrovské množství čísel a různých obměn obou čísel a jejich prvky, různá data, atd, což vede k celé řadě kombinací ... Kromě teorie pravděpodobnosti, toto odvětví je důležité, aby statistiky, informatiky a kryptografie.

Takže teď můžete přejít k prezentaci sebe a své definice vzorců.

Prvním z nich je výraz pro počet permutací, je následující:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2) ... 3 2 1 ⋅ ⋅ = n!

Rovnice platí pouze v případě, pokud jsou prvky se liší pouze v pořadí uspořádání.

Nyní umístění vzorec, vypadá to, že to bude považovat za:

A_n ^ m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (N - m)!

Tento výraz se vztahuje nejen na jediný prvek pokynu, ale také svým složením.

Třetí rovnice kombinatorika, a je to ten druhý, tzv vzorec pro počet kombinací:

C_n ^ m = n! : ((N - m))! : M!

Kombinace nazývá vzorkování, které nejsou nařízeno, v tomto pořadí, se a aplikovat toto pravidlo.

S formulí kombinatoriky přišel snadno pochopit, nyní můžete jít do klasické definice pravděpodobnosti. Vypadá to, že tento výraz takto:

P (A) = m: n.

V tomto obecném vzorci m - je počet podmínek vedoucích k jevu A a n - počet stejnoměrně a úplně všech elementárních událostí.

Existuje mnoho výrazů v článku nebudou považovány za nic, ale postiženy budou ty nejdůležitější, jako je například pravděpodobnost událostí činí:

P (A + B) = P (A) + P (B), - tato věta pro přidávání pouze vzájemně se vylučující události;

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (OR) -, ale to je jen pro přidávání kompatibilní.

Pravděpodobnost prací událostí:

P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B), - tato věta pro nezávislé události;

(P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B | A), P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (A | B)) - a to pro závislé.

Končil seznam událostí vzorce. Teorie pravděpodobnosti nám říká větu Bayes, který vypadá takto:

P (H_m | A) = (P (H_m) P (A | H_m)): (Σ_ (k = 1), n ^ P (H_k) P (A | H_k)), m = 1, ..., n

V tomto vzorci, H _1, H _2, ..., H _n - je kompletní sada hypotéz.

Na této zastávky, aplikace vzorků formule Nyní bude uvažovat o konkrétních úkolů z praxe.

příklady

Pokud si pečlivě studovat jakoukoliv pobočku matematiky, to není bez cvičení a vzorových řešení. A teorie pravděpodobnosti: události, jejichž příklady jsou zde nedílnou součástí potvrzující vědecké výpočty.

Vzorec pro počet permutací

Například v balíčku karet mají třicet karty, počínaje od nominálního. Další otázka. Kolik způsobů, jak složit na palubu tak, že karty v nominální hodnotě jednoho a dvou nebyly nachází hned vedle?

Úkol je nastaven, teď pojďme dál se s ní vyrovnat. Nejprve je třeba určit počet permutací třicet prvků, k tomuto účelu bereme výše uvedeného vzorce, to dopadá P_30 = 30!.

Na základě tohoto pravidla, víme, kolik možností existuje stanovit na palubu v mnoha ohledech, ale musíme být odečtena z nich jsou ty, v nichž se první a druhá karta bude dál. K tomu, začít s variantou, kdy první je umístěn na druhém. Ukazuje se, že první mapy může trvat dvacet devět míst - od prvního do dvacátého devátého a druhá karta od druhého do třiceti, otočí dvacet devět míst pro páry karet. Na druhé straně, ostatní mohou trvat dvacet osm míst, a v libovolném pořadí. To znamená, že pro přeskupení osmadvaceti karet již dvacet osm možnosti P_28 = 28!

Výsledkem je, že pokud vezmeme v úvahu rozhodnutí, když první karta je na druhém navíc možnost získat 29 ⋅ 28! = 29!

Použitím stejné metody, je třeba vypočítat počet nadbytečných možností pro případ, kdy je první karta umístěna pod sekundou. Také získat 29 ⋅ 28! = 29!

Z toho vyplývá, že další možností 2 ⋅ 29!, Zatímco potřebné prostředky sběru na palubu 30! - 2 ⋅ 29!. Zbývá jen počítat.

30! = 29! ⋅ 30; 30-2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Nyní je třeba násobit společně všechna čísla od jednoho do dvaceti devíti, a pak na konci všech vynásobí 28. Odpověď získaný 2,4757335 ⋅ 〖〗 10 ^ 32

Příklady řešení. Vzorec pro počet ubytování

V tomto problému, je třeba zjistit, kolik existují způsoby, jak dát patnáct svazků na polici, ale pod podmínkou, že pouhých třicet svazků.

V tomto úkolu se rozhodnutí o něco jednodušší než ten předchozí. Použití již známý vzorec, je nutné počítat celkový počet třiceti místech patnáct svazků.

A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ ... ⋅ 28⋅ (30-15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ = 202 843 16 204 931 727 360 000

Odezva, v uvedeném pořadí, se rovná 202 843 204 931 727 360 000.

Nyní se za úkol trochu složitější. Musíte vědět, kolik existují způsoby, jak uspořádat dvaatřicet knih na policích, s tou podmínkou, že pouze patnáct objemy mohou být umístěny na stejné polici.

Před začátkem tohoto rozhodnutí by chtěla objasnit, že některé problémy lze vyřešit několika způsoby, a to existují dva způsoby, ale je použita jak jedna a ta samá formule.

V tomto úkolu, můžete si vzít na odpověď od té předchozí, protože tam jsme spočítali, kolikrát můžete vyplnit police na patnáct knih v různých způsobech. Ukázalo A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16.

Druhý pluk vypočítá podle vzorce přeskupení, protože je umístěn patnáct knihy, zatímco zbývající části patnáct. Používáme vzorec P_15 = 15!.

Ukazuje se, že částka bude A_30 ^ 15 ⋅ P_15 způsoby, ale navíc je součin všech čísel od třiceti do šestnácti by násobené součinem čísel od jedné do patnácti, nakonec dopadne součin všech čísel od jedné do třiceti, že je odpověď 30!

Ale tento problém lze vyřešit jiným způsobem - jednodušší. Chcete-li to provést, můžete si představit, že existuje jedna police na třicet knih. Všechny z nich jsou umístěny na této rovině, ale proto, že podmínka vyžaduje, aby existovaly dvě police, jedna dlouhá jsme řezání na polovinu, dvě otáčky patnáct. Z toho se ukazuje, že pro toto uspořádání může být P_30 = 30!.

Příklady řešení. Vzorec pro počet kombinací

Který je považován za variantu třetího problému kombinatoriky. Musíte vědět, kolika způsoby existují uspořádat patnáct knih pod podmínkou, že si musíte vybrat ze třiceti přesně stejné.

Pro rozhodnutí bude samozřejmě použít vzorec pro počet kombinací. Z předpokladu, že je jasné, že pořadí stejných patnáct knih, není důležité. Takže nejprve je třeba zjistit celkový počet kombinací třiceti patnáct knih.

C_30 ^ 15 = 30! : ((30-15))! : 15! = 155117520

To je všechno. Za použití tohoto vzorce, v co nejkratším čase vyřešit takový problém, odpověď, v daném pořadí, se rovná 155,117,520.

Příklady řešení. Klasická definice pravděpodobnosti

Pomocí výše uvedeného vzorce, lze najít odpověď na jednoduchý úkol. Ale bude to jasně vidět a sledovat průběh akce.

Úkolem neboť v urně existuje deset zcela identické koule. Z nich čtyři žluté a šest modré. Převzato z urnovém jedním míčkem. Je nutné znát pravděpodobnost dostavaniya modré.

K vyřešení tohoto problému je třeba jmenovat dostavanie modré koule pro zvláštní události, A. Tato zkušenost může mít deset výsledků, které, podle pořadí, základní a stejně pravděpodobné. Ve stejné době, šest z deseti, jsou příznivé pro událost A. Řešení podle následujícího vzorce:

P (A) = 6: 10 = 0,6

Použijeme-li tuto formuli, jsme se dozvěděli, že možnost dostavaniya modré kuličky je 0,6.

Příklady řešení. Pravděpodobnost množství událostí

Kdo bude varianta, která je řešena pomocí vzorce pravděpodobnosti množství událostí. Takže vzhledem k tomu, podmínka, že existují dva případy, první z nich je šedé a pět bílé koule, zatímco druhá - osm šedých a čtyři bílé koule. V důsledku toho se první a druhý krabičky vzali na jednom z nich. Je nutné zjistit, jaké jsou šance, že postrádaly kuličky jsou šedé a bílé.

Chcete-li tento problém vyřešit, je třeba určit událost.

• Tak, A - máme šedou kouli prvního pole: P (A) = 1/6.
• A '- bílá žárovka také odebrány z prvního pole: P (A') = 5/6.
• The - již extrahuje šedá koule druhého kanálu: P (B) = 2/3.
• B '- vzala šedé koule druhé zásuvky: P (B') = 1/3.

Podle tohoto problému je nutné, aby jeden z fenoménů stalo: AB ‚nebo‘ B. Pomocí vzorce získáme: P (ab ‚) = 1/18, P (A'B) = 10/18.

Nyní byl použit vzorec násobí pravděpodobnost. Dále zjistit odpověď, budete muset uplatnit své rovnice a dodává:

P = P (ab '+ A'B) = P (ab') + P (A'B) = 11/18.

To je, jak se vypočte pomocí vzorce, můžete vyřešit tyto problémy.

výsledek

Papír byl předložen k informacím o „teorii pravděpodobnosti“, pravděpodobnost událostí, které hrají důležitou roli. Samozřejmě, byl považován za ne všechno, ale na základě textu předloženého můžete teoreticky seznámit s tímto odvětví matematiky. Považován věda může být užitečná nejen v odborné činnosti, ale i v každodenním životě. Můžete ji použít k výpočtu jakoukoli možnost události.

Text byl také ovlivněn významných dat v historii vývoje teorie pravděpodobnosti jako vědy, a jména lidí, jejichž práce byly do něho. To je, jak lidská zvědavost vedla k tomu, že lidé se naučili počítat, dokonce i náhodné jevy. Poté, co jsou jen zájem o to, ale dnes je již známo všem. A nikdo nemůže říci, co se stane s námi v budoucnu, jaké další skvělé objevy vztahující se k teorii v úvahu, by se dopustil. Ale jedna věc je jistá - studie stále nestojí za to!