Iracionální čísla: co to je a co jsou používány?

Co je iracionální číslo? Proč se jim říká? Tam, kde se používají a co představuje? Málo může bez váhání odpovědět na tyto otázky. Ale ve skutečnosti, že odpovědi jsou velmi jednoduché, i když ne všichni jsou nezbytné a ve velmi vzácných případech,

Podstata a určení

Iracionální čísla jsou nekonečné neperiodických desetinná místa. Potřeba zavést tento pojem vyplývá ze skutečnosti, že aby bylo možné řešit nově se objevující výzvy, byla nedostatečná dříve existující koncepty skutečných či reálných, celých, přirozených a racionálních čísel. Například, aby bylo možné vypočítat efektivní hodnota je 2, je nutné použít neperiodický nekonečný desetinný zlomek. Kromě toho mnoho jednoduchých rovnic také nemají řešení bez zavedení pojmu iracionálních čísel.

Tato sada se označí jako I. A, jak se ukázalo, tyto hodnoty nemohou být reprezentován jako jednoduchý frakce, čitatel, která je celá, a jmenovatel - přirozené číslo.

Poprvé se tak či onak s tímto fenoménem čelí indických matematiků v VII století před naším letopočtem, kdy bylo zjištěno, že odmocnina z určitého množství nelze jednoznačně identifikovat. První důkaz o existenci těchto čísel je připočítán Pythagorovy Hippasus, který jej podal, ve studii rovnoramenného pravoúhlého trojúhelníku. Vážným příspěvek ke studiu tohoto souboru přinesly i některé vědce, kteří žili před naším letopočtem. Zavedení konceptu iracionálních čísel vedly k revizi stávajícího matematického systému, což je důvod, proč jsou tak důležité.

Původ jména

V případě, že poměr v latině - je „shot“, „postoj“, předpona „ir“
připojený ke slovu opaku. To znamená, že název souboru těchto čísel znamená, že nemohou být korelována na celé číslo nebo zlomek, posaďte se. To vyplývá z jejich povahy.

Místo v celkové klasifikaci

Iracionální čísla, spolu s racionální označuje skupinu skutečné nebo virtuální, což patří ke komplexu. Podmnožiny však rozlišovat mezi algebraický a transcendentní druhu, které budou popsány níže.

vlastnosti

Vzhledem k tomu, iracionální čísla - je to součást sady skutečné, pak se na ně vztahují na všechny jejich vlastnosti, které jsou studovány v aritmetice (také volal základní algebraické zákony).

a + b = b + a (commutativity);

(A + b) + c = a + (b + c) (asociativní);

a + 0 = a;

a + (-a) = 0 (existence přísada inverzní);

ab = ba (komutativní zákon);

(Ab), c = a (Bc) (Distributivity);

a (b + c) = ab + ac (distribuční právo);

ax 1 = a

ax 1 / a = 1 (inverzní počet existence);

Srovnání je také v souladu s obecnými právními předpisy a principy:

Je-li> b a b> c, pak se> c (tranzitivita poměr) a. t. d.

Samozřejmě, že všechny iracionální čísla mohou být převedeny za použití základní aritmetické operace. Zvláštních pravidel, která v tomto.

Kromě toho, iracionální čísla se vztahuje Archimedes axiom. Uvádí, že za žádných dvou hodnot A a B je pravda, že tím, že termín jako dostatečný počet opakování, je možné porazit b.

Použití

Navzdory tomu, že v reálném životě nemají často se s nimi vypořádat, iracionální čísla nedávají účet. Jsou velmi mnoho, ale jsou prakticky neviditelné. Jsme obklopeni iracionálních čísel. Příklady, znají všichni, - číslo pí, rovná 3.1415926 ... nebo e, je v podstatě základ přirozených logaritmů, 2,718281828 ... V algebra, trigonometrie a geometrie muset použít je neustále. Mimochodem, známý hodnota „zlatého řezu“, tedy poměr, kolik z vysokého na nízký a naopak, a To se vztahuje k této sadě. Méně známá „stříbrná“ - taky.

Na číselné ose, jsou si velmi blízké, takže mezi dvěma libovolnými množství, na které se vztahuje sadou racionální, iracionální nutně dojít.

Až dosud existuje mnoho nevyřešených otázek týkajících se této sady. Existují kritéria, jako iracionality opatření a normality čísla. Matematici nadále zkoumat nejvýznamnější příklady pro jejich příslušnosti k jedné skupiny nebo jiný. Například se předpokládá, že e - běžné číslo, tj pravděpodobnost výskytu v jeho nahrávce různých obrázcích jsou stejné ... Pokud jde o PI, pak jeho poměrně dlouho předmětem šetření. Měřítkem iracionality se nazývá hodnota ukazuje, jak dobře může být určitý počet aproximovat racionálních čísel.

Algebraické a transcendentní

Jak již bylo zmíněno, iracionální čísla podmíněně rozděleny do algebraický a transcendentní. Obvykle proto, že přísně vzato, klasifikace se používá k rozdělení množiny C.

Pod tímto označením se skrývá komplexní čísla, které patří ke skutečné nebo skutečný.

Takže algebraické volal hodnotu, která je kořenem polynomu není identicky nulová. Například druhá odmocnina 2 spadají do této kategorie, protože se jedná o řešení rovnice x ^2-2 = 0.

Všechny ostatní reálná čísla, která nesplňují tuto podmínku, se nazývají transcendentální. Tento druh a jsou nejvíce známé a již zmíněné příklady - počet pí a přirozený logaritmus základ e.

Zajímavé je, že ani jedno, ani druhé byly původně chováni matematiky jako takové, jejich iracionalita a transcendence byla prokázána po mnoho let po jejich objevení. Pro pi důkaz byl poskytnut v roce 1882 a zjednodušena v roce 1894, které ukončilo k diskusi o problému kvadratura kruhu, který trval 2500 let. Stále není zcela znám, takže moderní matematici mám práci. Mimochodem, první rozumně přesný výpočet této hodnoty měl Archimedes. Před ním, všechny výpočty byly příliš přibližné.

U e (Eulerovo číslo, nebo Napier), byl nalezen důkaz jeho transcendence v roce 1873. Používá se při řešení logaritmických rovnic.

Mezi další příklady - sine hodnoty, cosinus a tangens pro všechny nenulové algebraických hodnot.