Jak odvodit derivát kosinusu

Derivát kosinu je analogický s derivátem sinusu, základem důkazu je definice limitu funkce. Můžete použít jinou metodu, pomocí trigonometrických vzorců pro odlévání kosinusových a sinusových úhlů. Vyjádření jedné funkce skrze druhou je cosinus přes sinus a diferenciaci sine se složitým argumentem.

Uvažujme první příklad derivace vzorce (Cos (x)) '

Dáváme nekonečně malý přírůstek Δx k argumentu x funkce y = Cos (x). S novou hodnotou argumentu x + Δx získáme novou hodnotu funkce Cos (x + Δx). Pak bude přírůstek funkce Δy cos (x + Δx) -Cos (x).
Poměr přírůstku funkce k Δx bude následující: (Cos (x + Δx) -Cos (x)) / Δx. Provádíme identické transformace v čitateli výsledné frakce. Vzpomeňte na vzorec pro rozdíl kosinů úhlů, výsledkem je produkt -2Sin (Δx / 2) vynásobený Sin (x + Δx / 2). Našli jsme limit částečného limu tohoto produktu na Δx pro Δx tendenci nulu. Je známo, že první (nazývá se pozoruhodná) lim lim (sin (Δx / 2) / (Δx / 2)) je 1 a limita -Sin (x + Δx / 2) Nula.
Napište výsledek: derivát (Cos (x)) 'je - Sin (x).

Někteří lidé mají rádi druhou cestu, jak odvodit stejný vzorec

Z průběhu trigonometrie je známo: Cos (x) se rovná Sin (0,5 · Π-x), podobně jako Sin (x) je Cos (0,5 · Π-x). Pak rozlišujeme komplexní funkci - sinus přídavného úhlu (místo cosinusu x).
Získáváme produkt Cos (0,5 · Π-x) · (0,5 · Π-x) ', protože derivát sinusu x se rovná kosinu x. Otočíme se k druhému vzorku Sin (x) = Cos (0,5 · Π-x) změny kosinus-sinus, vezmeme v úvahu, že (0,5 · Π-x) '= -1. Teď dostaneme -Sin (x).
Tak jsme našli kosinový derivát, y '= -Sin (x) pro funkci y = Cos (x).

Čtvercový kosinový derivát

Často použitý příklad, kde se používá derivát kosinusu. Funkce y = Cos ² (x) je složitá. Nejprve zjistíme diferenciál funkce výkonu s exponentem 2, bude to 2 · Cos (x), pak násobíme derivátem (Cos (x)), který je -Sin (x). Získáme y '= -2 · Cos (x) · Sin (x). Když aplikujeme vzorec Sin (2 · x), sinus dvojitého úhlu, dostaneme závěrečné zjednodušení
Odpověď y '= -Sin (2 · x)

Hyperbolické funkce

Aplikováno ve studiu mnoha technických oborů: například v matematice, usnadnit výpočet integrálů, řešení diferenciálních rovnic. Vyjadřují se pomocí trigonometrických funkcí s imaginárním argumentem, takže hyperbolický kosinus ch (x) = Cos (i · x), kde i je imaginární jednotka, hyperbolický sinus sh (x) = Sin (i · x).
Derivát hyperbolického kosinu lze snadno vypočítat.
Zvažte funkci y = (e ^x + e ^-x ) / 2, jedná se o hyperbolický kosinus ch (x). Používáme pravidlo nalezení derivátu součtu dvou výrazů, pravidlo pro provádění konstantního faktoru (Const) za znaménkem derivátu. Druhý termín 0.5 · e- ^x je komplexní funkce (jeho derivát je -0.5 · e ^x ), 0.5 · e ^x je první summand. (X, x)) = ((e ^x + e ^{- x} ) / 2) 'lze psát různě: (0.5 · e ^x + 0.5 · e ^{- x} ) = 0.5 · e ^x -0,5 · e ^{- x} , protože derivát (e ^{- x} ) 'je -1, násobený e ^{- x} . Výsledkem je rozdíl, a to je hyperbolický sinus sh (x).
Závěr: (ch (x)) '= sh (x).
Uvažujme příklad toho, jak vypočítat derivaci funkce y = ch (x ³ +1).
Pravidlem pro rozlišení hyperbolického kosinusu s komplexním argumentem, y '= sh (x ³ +1) · (x ³ + 1)', kde (x ³ + 1) '= 3 × ² +0.
Odpověď: derivát této funkce je 3 · x ² · sh (x ³ +1).

Deriváty funkcí y = ch (x) a y = Cos (x) jsou tabulkové

Při řešení příkladů není nutné je rozlišit vždy podle navrhovaného schématu, stačí použít derivaci.
Příklad. Rozlište funkci y = Cos (x) + Cos ² (-x) -Ch (5 · x).
Je snadné počítat (použijte tabulková data), y '= -Sin (x) + Sin (2 · x) -5 · Sh (5 · x).