Vypouklého mnohoúhelníku. Definice konvexní polygon. Úhlopříček konvexního polygonu

Tyto geometrické tvary jsou všude kolem nás. Vypouklého mnohoúhelníku jsou přírodní, jako je například včelí plástve nebo umělé (umělých). Tyto údaje se používají při výrobě různých typů povlaků v umění, architektura, ozdoby, atd. Vypouklého mnohoúhelníku mají tu vlastnost, že jejich body leží na jedné straně přímky, která prochází dvojice sousedních vrcholů geometrického obrazce. Existují i jiné definice. To se nazývá konvexní polygon, který je uspořádán v jedné polorovině vzhledem k jakékoli přímé linii, který obsahuje jednu z jeho stran.

vypouklého mnohoúhelníku

V průběhu elementární geometrie jsou vždy zacházeno velmi jednoduché polygony. Pochopit vlastnosti geometrických tvarů , které je třeba pochopit jejich podstatu. Chcete-li začít chápat, že uzavřený je nějaká linka, jejíž konce jsou stejné. A postava vytvořená jí, může mít řadu konfigurací. Polygon se nazývá jednoduchou uzavřenou křivku, jejíž sousední jednotky nejsou umístěna na jedné přímce. Jeho spojení a uzly jsou, v uvedeném pořadí, boky a vršky geometrického obrazce. Jednoduchá křivka se nesmí protínat samo.

vrcholy mnohoúhelníku se nazývají sousedy, v případě, že jsou konce jedné ze svých stran. Geometrický obrazec, který má n-tý počet vrcholů, a tím i n-tý počet stran nazývá n-gon. Sama o sobě přerušovaná čára je hranice nebo obrys geometrického útvaru. Polygonální letadlo nebo ploché mnohoúhelník nazývá závěrečnou část všechna letadla, jejich omezená. Přilehlé strany geometrického obrazce, zvané segmenty křivky pocházející ze stejného vrcholu. Nebudou sousedé, pokud jsou založeny na různých vrcholů polygonu.

Další definice konvexních polygonů

Na základní geometrii, existuje několik ekvivalentní definice významu, což ukazuje to, co se nazývá konvexní polygon. Navíc všechny tyto výroky jsou stejně pravdivé. Konvexní polygon je ten, který má:

• každý segment, který se připojuje jakékoliv dva body v něm leží zcela v něm;

• v ní leží všechny diagonály;

• jakákoli Vnitřní úhel ne větší než 180 °.

Polygon vždy rozděluje rovinu na dvě části. Jeden z nich - omezená (může být uzavřen do kruhu), a druhá - neomezená. První se nazývá vnitřní oblast, a druhý - vnější plocha geometrického útvaru. To je křižovatka polygonu (jinými slovy - celková složka) několik polovičních rovin. Tak, každý segment má konce v bodech, které náleží do polygonu zcela patří k němu.

Odrůdy konvexních polygonů

Definice konvexní polygon neznamená, že existuje mnoho druhů z nich. A každý z nich má určitá kritéria. To znamená, že konvexní mnohoúhelníky, které mají vnitřní úhel 180 °, uvedené mírně konvexní. Konvexní geometrického obrazce, který má tři vrcholy, se nazývá trojúhelník, čtyři - čtyřúhelník, pět - pětiúhelník, atd Každý konvexní n-gons splňuje následující důležité požadavky: .. N musí být rovna nebo větší než 3. Každá z těchto trojúhelníků je konvexní. Geometrická postava tohoto typu, ve kterém jsou všechny vrcholy leží na kružnici, se nazývá vepsanou kružnici. Popsaný konvexní polygon je spuštěna, jestliže všechny její strany kolem kruhu se jí dotknout. Dva polygony se nazývají rovnat pouze v případě, že při použití překrytí lze kombinovat. Ploché polygon tzv polygonální rovina (rovina část), který této omezené geometrický obrazec.

Pravidelného vypouklého mnohoúhelníku

Pravidelné mnohoúhelníky s názvem geometrické obrazce se stejnými úhly a po stranách. V nich existuje bod 0, který je ve stejné vzdálenosti od každého ze svých vrcholů. To je nazýváno centrem geometrického obrazce. Linky spojující centrum s vrcholů geometrického obrazce, zvané apothem, a ty, které spojují bod 0 se stranami - poloměry.

Správná obdélník - čtverec. Rovnostranný trojúhelník se nazývá rovnostranný. U těchto tvarů je následující pravidlo: každý konvexní úhel polygon je 180 ° * (n-2) / N,

kde n - počet vrcholů konvexního geometrického útvaru.

Plocha žádného pravidelného mnohoúhelníku je dána vzorcem:

S = P * h,

kde p se rovná polovině součtu všech stran mnohoúhelníku, a h je délka apothem.

Vlastnosti vypouklého mnohoúhelníku

Vypouklého mnohoúhelníku mají určité vlastnosti. To znamená, že část, která spojuje jakékoliv dva body geometrický obrazec, nutně se v něm nacházejí. důkaz:

Předpokládejme, že P - konvexní mnohoúhelník. Vezměte dva libovolné body, například A a B, které patří do P. Podle současné definice konvexní polygon, tyto body jsou umístěny na jedné straně přímky, která obsahuje libovolném směru R. V důsledku toho, AB má rovněž tuto vlastnost a je obsažen v R. A konvexní polygon vždy může být rozdělena do několika trojúhelníků naprosto všechny úhlopříčky, která se konala jeden ze svých vrcholů.

Úhelníky konvexní geometrické tvary

Úhly konvexní polygon - jsou úhly, které jsou tvořeny stranami. Vnitřní rohy jsou ve vnitřní oblasti geometrického obrazce. Úhel, který je vytvořen po stranách, které se sbíhají ve vrcholu, tzv úhel konvexního polygonu. Rohy přilehlých vnitřních rozích geometrického obrazce, zvané externí. Každý roh konvexní mnohoúhelník, uspořádaný uvnitř, je:

180 ° - x

kde x - hodnota vnějšího rohu. Tento jednoduchý vzorec je použitelný pro jakýkoliv typ geometrických tvarů takových.

Obecně platí, že pro vnější rohy existují následující pravidla: každý konvexní polygon úhel rovnající se rozdílu mezi 180 ° a hodnotou vnitřního úhlu. To může mít hodnotu v rozmezí od -180 ° C do 180 °. V důsledku toho, když je vnitřní úhel je 120 °, vzhled bude mít hodnotu 60 °.

Součet úhlů konvexních polygonů

Součet vnitřních úhlů konvexním polygonu se stanoví podle vzorce:

180 ° * (n-2),

kde n - počet vrcholů n-gon.

Součet úhlů konvexního polygonu se vypočítá jednoduše. Vezměme si žádný takový geometrický tvar. Chcete-li zjistit součet úhlů v konvexním polygonu je třeba připojit jeden ze svých vrcholů s ostatními vrcholy. V důsledku tohoto opatření se změní (n-2) trojúhelníku. Je známo, že součet úhlů každém trojúhelníku je vždy 180 °. Vzhledem k tomu, jejich počet v každém polygonu rovná (n-2), přičemž součet vnitřních úhlů na obrázku je 180 ° x (n-2).

Částka konvexní polygon rohy, a to dvěma sousedními vnitřní a vnější úhly na ně, v tomto konvexního geometrického útvaru bude vždy roven 180 °. Na tomto základě můžeme určit součet všech jejích rohů:

180 x n.

Součet vnitřních úhlů je 180 ° * (n-2). V souladu s tím, součet všech vnějších rohů na obrázku stanovené podle vzorce:

180 ° * N-180 ° - (N-2) = 360 °.

Součet vnějších úhlů jakéhokoli konvexní polygonu bude vždy rovna 360 ° C (bez ohledu na počet jeho stran).

Vnější roh konvexní polygon jsou obecně představuje rozdíl mezi 180 ° a hodnotou vnitřního úhlu.

Další vlastnosti konvexní polygon

Kromě základních vlastností geometrických obrazců dat, mají také další, které se vyskytují při manipulaci s nimi. Proto by jakákoli polygonů mohou být rozděleny do více konvexního n-gons. K tomu, aby i nadále každé ze svých stran a snížit geometrický tvar podél těchto přímkách. Rozdělit libovolnou polygon na několik konvexních částí je možné, a tak, aby horní část každé z částí se shodují se všemi jeho vrcholů. Z geometrického obrazce mohou být velmi jednoduché, aby se trojúhelníky přes všechny úhlopříček od jednoho vrcholu. Proto by jakákoli polygon, v konečném důsledku, může být rozdělena do určitého počtu trojúhelníků, což je velmi užitečná při řešení různých úkolů souvisejících s takovými geometrickými tvary.

Obvod konvexní polygon

Segmenty křivky, polygon zvané strany, často označeny těmito písmeny: AB, BC, CD, DE, ea. Tato strana je geometrický obrazec s vrcholy A, B, C, D, E. Součet délek stran konvexní polygon je volán jeho obvodu.

Obvod polygonu

Vypouklého mnohoúhelníku mohou být zapsány a popsány. Circle tangenta ke všem stranám geometrického obrazce, nazvaný vepsaný do něj. Tento polygon je volán popsán. Ve středu kruhu, který je vepsán do mnohoúhelníku je průsečíkem přímek úhlů v daném geometrickým tvarem. Plocha polygonu se rovná:

S = P * r,

kde R - poloměr vepsané kružnice a p - semiperimeter tohoto mnohoúhelníku.

Kruh obsahující polygon vrcholy, tzv popsány v jeho blízkosti. Kromě toho, tento konvexní geometrický obrazec názvem vepsán. Střed kruhu, který je popsán o takovém polygon je takzvaný průsečík midperpendiculars všechny strany.

Diagonální konvexní geometrické tvary

Úhlopříček konvexní polygon - segmentu, který spojuje není sousedními vrcholy. Každý z nich je uvnitř tohoto geometrického obrazce. Počet úhlopříček n-gon je nastaven podle vzorce:

N = n (n - 3) / 2.

Počet úhlopříček konvexního polygonu hraje důležitou roli v elementární geometrie. Počet trojúhelníků (K), který se může rozbít každý konvexní mnohoúhelník, vypočte podle následujícího vzorce:

K = n - 2.

Počet úhlopříček konvexní polygon je vždy závislá na počtu vrcholů.

Rozdělení konvexní polygon

V některých případech řešit geometrie úkoly nezbytné přerušit vypouklý mnohoúhelník do několika trojúhelníků s non-protínajícími se úhlopříčkami. Tento problém může být vyřešen tím, že se odstraní jistý vzorec.

Definování problému: volání správný druh rozdělení konvexní n-gon do několika trojúhelníky úhlopříček, které se protínají pouze na vrcholech geometrického útvaru.

Řešení: Předpokládejme, že P1, P2, P3, ..., Pn - horní část n-gon. Počet Xn - počet svých oddílů. Pečlivě zvážit výsledný úhlopříčka geometrické obrázek Pi PN. V každém z pravidelných oddílů P1 Pn patří k určité trojúhelníku P1 Pi Pn, kde 1

Nechť i = 2 je skupina pravidelných oddílů, vždy s diagonální P2 Pn. Počet oddílů, které jsou v ní zahrnuta, se rovná počtu oddílů (n-1) Gon P2 P3 P4 ... PN. Jinými slovy, je rovna Xn-1.

Pokud i = 3, pak druhá skupina oddíly budou vždy obsahovat diagonální P3 P1 a P3 PN. Počet správných oddíly, které jsou obsaženy ve skupině, bude shodovat s počtem oddílů (n-2) gon P3, P4, ... Pn. Jinými slovy, bude Xn-2.

Nechť i = 4, pak trojúhelníky mezi správný oddíl je vázán na obsahovat trojúhelníku P1 Pn P4, který bude sousedit s čtyřúhelník P1 P2 P3 P4, (n-3) gon P5 P4 ... Pn. Počet správných oddílů, jako čtyřúhelník se rovná X4, a počet přepážek (n-3) se rovná gon Xn-3. Na základě výše uvedeného lze říci, že celkový počet pravidelných oddíly, které jsou obsaženy v této skupině se rovná Xn-3 X4. Jiné skupiny, ve kterých i = 4, 5, 6, 7 ... bude obsahovat 4 Xn-X5, Xn-5 X6, Xn-6 ... X7 pravidelné příčky.

Nechť i = n-2, počet správných oddílů v dané skupině se bude shodovat s počtem oddílů ve skupině, ve které i = 2 (jinými slovy, rovná Xn-1).

Vzhledem k tomu, X 1 = X 2 = 0, X 3 = 1 a X4 = 2, ..., počet příček konvexní polygon je:

Xn = xn-1 + xn-2 + xn-3, Xn-X4 X5 + + 4 ... + X + 5 4 xn-Xn-X 4 + 3 + 2 Xn-xn-1.

příklad:

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X4 X5 + + + X4 X5 = 14

X7 + X5 = X6 + X4 * X4 X5 + + X6 = 42

X7 = X8 + X6 + X4 X5 * + * X4 X5 + X6 + X7 = 132

Počet správných oddílů se protínají v jednom diagonální

Při kontrole jednotlivých případů, lze předpokládat, že počet úhlopříček konvexního n-gon je rovna součinu všech oddílů tohoto grafu vzoru (n-3).

Důkazem tohoto předpokladu: předpokládejme, že P1N = Xn * (n-3), pak každý n-gon může být rozdělen do (n-2) je trojúhelník. V tomto případě jeden z nich může být stohovány (n-3) -chetyrehugolnik. Ve stejné době, každý čtyřúhelník je diagonální. Od tohoto konvexního geometrického útvaru dvě diagonály se může provádět, což znamená, že v žádné (n-3) -chetyrehugolnikah mohou provádět další diagonální (n-3). Na tomto základě můžeme konstatovat, že v každém správném oddíl má možnost (n-3) -diagonali splňuje požadavky tohoto úkolu.

Oblast vypouklého mnohoúhelníku

Často při řešení různých problémů elementární geometrie je třeba určit oblast konvexní polygon. Předpokládejme, že (XI. Yi), i = 1,2,3 ... n představuje posloupnost souřadnic všech sousedních vrcholů mnohoúhelníku, s nedochází k samovolnému křižovatky. V tomto případě je jeho plocha je vypočtena podle následujícího vzorce:

_{S = ½ (Σ (X i} + X i + ₁₎ (Y _{i +} y _i + _1)),

ve kterém (X _1, Y _{1) = (X n + 1, Y} n + _1).