Geometrickou řadou a její vlastnosti

Geometrická progrese je důležité v matematice jako vědy a aplikované význam, protože má velmi široký záběr, a to i ve vyšší matematiky, například v teorii série. První informace o pokroku k nám přišel ze starověkého Egypta, a to zejména v podobě známého problému Rhind papyru sedm osob se sedmi kočkami. Variace tohoto úkolu byly opakovány mnohokrát v různých časech od jiných národů. Dokonce i Velikiy Leonardo Pizansky, známý jako Fibonacci (XIII c.), Promluvil k ní ve své "knize Abacus."

Takže geometrická progrese má starobylou historii. To představuje číselnou sekvenci s nenulovou prvního členu, a každý další, počínaje druhým je určen vynásobením předchozí opakování vzorec na konstantní nenulové číslo, které se nazývá jmenovatel progrese (obvykle označený pomocí dopis q).
Je zřejmé, že lze nalézt dělením každé další funkční sekvence na předchozí, tj. Z 2: z 1 = ... = Zn: z n-1 = .... V důsledku toho, pro většinu pracovních progrese (Zn) dostatečně, že zná hodnotu prvního funkčního jmenovatele a y 1 q.

Předpokládejme například, z 1 = 7, q = - 4 (q <0), pak následující geometrická se získá 7 - 28, 112 - 448, .... Jak můžete vidět, výsledná posloupnost není monotonní.

Připomeňme, že libovolná sekvence monotónní (zvyšování / snižování), když jeden z jeho členů sledovat větší / menší než předchozí. Například, sekvence 2, 5, 9, ..., a -10, -100, -1000, ... - Monotónní, druhá - klesající geometrická.

V případě, že q = 1 se nalézají, všichni členové být, a to se nazývá konstantní průběh.

Sekvence byla progrese tohoto typu, musí splňovat následující nutné a postačující podmínkou, a to: od druhého, každý z jeho členů by měla být geometrický průměr sousedních členů.

Tato vlastnost umožňuje za určitých dvě sousední nález libovolný termín progrese.

n-tý termín exponenciálně snadno nalézt vzorcem: Zn = z * 1 Q ^ (n-1), z vědomím, první člen 1 a jmenovatel q.

Vzhledem k tomu, pořadové číslo má součet, pak se několik jednoduchých výpočtů nám vzorec pro výpočet součtu první progrese členů, a to:

S n = - (Zn * q - z 1) / (1 - q).

Výměna, ve vzorci jeho exprese hodnota Zn z 1 * q ^ (n-1), aby se získala druhá sumární vzorec progrese: S n = - z1 * (q ^ n - 1) / (1 - q).

Je hoden pozornosti následující zajímavý fakt: hlína tablet nalezený v vykopávky starověkého Babylonu, který se odkazuje na VI. BC, obsahuje pozoruhodným způsobem součet 1 + 2 + ... + 22 + 29 se rovná 2 až desátého mínus napájení 1. vysvětlení tohoto jevu dosud nebyl nalezen.

Poznamenáváme, jedna z vlastností geometrickou řadou - konstantní práci svých členů, které jsou umístěny ve stejných vzdálenostech od konců sekvence.

Zvláštní význam z vědeckého hlediska, takového jako nekonečný geometrickou řadou a výpočtu její výši. Za předpokladu, že (yn) - geometrickou řadou, která má jmenovatel q, splňující podmínku | q | <1, jeho množství se označuje hranici, ke které už známe součet prvních členů, s neomezené zvýšení n, pak se na něj blíží nekonečnu.

Najít tuto částku v důsledku použití vzorce:

S n = y 1 / (1-q).

A jak ukázaly zkušenosti, pro zdánlivou jednoduchost tohoto postupu se skrývá obrovský aplikační potenciál. Například, pokud se postavit sekvenci čtverců podle následujícího algoritmu, spojující středy na předchozí, pak tvoří čtvercový nekonečnou geometrickou mající jmenovatele 1/2. Stejný postup tvar a plocha trojúhelníky, získané v každé fázi výstavby a její součet je roven oblasti základního pole.